Page 12 - Matemáticas para bacharelato de adultos

12
4. Operacións con vectores
Prácticas

I. Se son linealmente dependentes un deles pode poñerse como combinación lineal do outro (serían paralelos). Entón imos
ver si existe un  tal que u =  v .
 2

 2 = − 5 →  = − 5 2

u  = v (2, 6− )  → = ( 5,15− ) →  →  = − satisface a ecuación u =  v → u e v son
 − 6 15 →  = − 6 = − 2 5

=
  15 5
linealmente dependentes.
II. Plantexamos se hai escalares  e  , indeterminados e non nulos, tal que u  + v = 0 .
2 −   5 =  0 2 −   5 =  0
 u  = 0 →  (2, 6− ) + ( 5,15− ) (0,0= ) →    → a ecuación   − 5 = ten infini-
+

0
v
 −



 6 + 15 = 0  2 − = 0
5 5
tas solucións:   = → substituíndo  en u  + v = 0 tense que  u  + v = 0 que para   tense que
0
2 2
5u + 2v = 0 → u e v son linealmente dependentes.
4.6. Base do espazo vectorial dos vectores no plano
 Os vectores i = ( ) e j = ( ) forma unha base do espazo vectorial dos vec-
1,0
0,1
tores libres do plano. É dicir, podemos expresar calquera vector a do plano co-
mo combinación lineal dos vectores i e j do seguinte xeito:
a = xi + yj
• Dous vectores i e j con distinta dirección, forman unha base, xa que cal-
quera vector do plano pode poñerse como combinación lineal deles.

• Se os dous vectores da base son perpendiculares entre si dise que forman unha base ortogonal, e se ademais teñen
módulo 1, dise que forman unha base ortonormal.
Neste caso, por tratarse da base máis sinxela, chamarémoslle base canónica.
1
4.7. Coordenadas cartesianas
 Os escalares x e y que permiten expresar de maneira única o vector a en función dos vectores da base chámanse
2
coordenadas cartesianas do vector a e exprésase:
)
a = ( ,x y
• Tamén se chaman coordenadas cartesianas do punto A asociado, que mediante elas se expresa así:
)
A ( ,x y
4.8. Coordenadas do vector que pasa por dous puntos


B x
A
Se ( 1 , x y 1 ) e ( 2 , y 2 ) son dous puntos do plano, as coordenadas do vector AB son:
AB = ( ,x y − , x y 1 ) (x= 2 − 1 , x y − y 1 )
2
) ( 1
2
2
5. O vector que une os puntos (5,3A ) e ( ) é:
1,6
B
AB = ( ) (5,3− ) (1 5,6 3= − − ) ( 4,3= − ) → AB = ( 4,3− ) .
1,6

1 Chámanse así en honor a René Descartes, matemático francés (1596–1650), que creou a xeometría analítica coa invención
deste sistema de eixes.
2 Normalmente son coordenadas cartesianas rectangulares, en canto que o máis habitual é que . i ⊥ j .. No caso de que i e
j non sexan perpendiculares, as coordenadas cartesianas chámanse oblicuas.