Page 7 - Matemáticas para bacharelato de adultos
P. 7

7
          Xeometría analítica
                                                                                     Prácticas



          XEOMETRÍA ANALÍTICA

          1. INTRODUCIÓN
          A xeometría analítica é o emparellamento da álxebra e da xeometría. Os antigos matemáticos gregos, coas súas mentes marabi-
          llosas, dedicáronse principalmente á xeometría e perfeccionárona ata un grao bastante elevado. Pero, desgraciadamente, igno-
          raban máis ou menos a aritmética (e os principios da álxebra) dado que consideraban que iso era só para os negocios e o co-
          mercio. Os negocios e as contas, e por conseguinte a aritmética, foron incumbencia dos supervisores das facendas, en tanto que
          os matemáticos dedicaron as súas mentes a artes máis elevadas.
          Pasaron uns 1500 anos ata que se estendeu a aritmética e a álxebra en Europa, e foi René Descartes quen admitiu o poderoso
          que sería a ferramenta da álxebra para simplificar e ampliar a xeometría. Non foi senón ata despois de certo tempo cando Isaac
          Newton madurou esta idea para crear unha nova ferramenta aínda máis potente, o cálculo.
          A idea fundamental de Descartes, como a da maioría dos inventos, foi simple. Por que non formar dúas direccións básicas,
          tales como a dirección «horizontal» e a dirección «vertical» (a partir dun punto de partida central,  O , chamado orixe), que
          servisen como alíneas de medición para situar nun plano calquera punto  P  desexado? A distancia sobre a dirección horizontal
          podería designarse por un número negativo, positivo ou cero, segundo se tivese que ir cara a esquerda, a dereita ou a ningunha
          das dúas para chegar a un punto dado. De maneira semellante, o número que indica a distancia vertical podería ser positivo,
          negativo ou cero, segundo se tivese que ir cara arriba, cara abaixo o cara ningunha das dúas para chegar ao punto.
                                                  Seguindo a construción de Descartes vese que a cada punto do plano lle co-
                                                  rresponden un par de números reais,  x  e  y ; e inversamente, a cada par de
                                                  puntos reais lle corresponde un punto e só un.
                                                  A recta horizontal chámase eixe  X , sendo o seu sentido positivo cara a de-
                                                  reita; a vertical chámase eixe Y , e o seu sentido positivo é cara arriba. Os
                                                                         )
                                                  dous números escritos ( ,x y  dinse coordenadas do punto e chámanse abs-
                                                                                              )
                                                  cisa e ordenada. A orixe  O  ten por coordenadas (0,0 .
                                                  As coordenadas sobre un punto do eixe  X  son ( ,0a  )  e as dun punto sobre
                                                                 )
                                                                                                     0
                                                  o eixe Y  son (0,b . Así o eixe  X  defínese pola ecuación  y =  e o eixe
                                                   Y  pola ecuación  x = .
                                                                    0

             Cando hai unha relación tal entre unha curva e unha ecuación, é dicir, que as coordenadas dun punto sobre a curva sa-
               tisfacesen a ecuación, e un punto cuxas coordenadas satisfacen a ecuación ten que estar na curva, dicimos que é a ecua-
               ción da curva.
                                                 0
               •    y =  0  é a ecuación do eixe  X e  x =  é a ecuación do eixe Y .

          Seguindo coa idea de Descartes, vese que se pode chegar a calquera punto do
          plano mediante dous segmentos rectilíneos dirixidos cara arriba, cara abaixo,
          á dereita ou á esquerda.
          De xeito similar se pode chegar a calquera punto do espazo tridimensional con
          tres segmentos rectilíneos dirixidos, proporcionando un terceiro eixe,  Z , per-
          pendicular ao plano do eixe  X  e o do eixe Y  e coa mesma orixe.
          A idea básica dos segmentos dirixidos é moi importante, non só nas matemáti-
          cas, senón tamén na física e na enxeñería. A eses segmentos orientados chá-
          maselles «vectores».

          VECTORES NO PLANO. REPASO
          1. SEGMENTO RECTILÍNEO DIRIXIDO

          En xeral, estase familiarizado co concepto xeométrico de segmento rectilíneo.

             A porción dunha alínea recta comprendida entre dous puntos chámase seg-
               mento rectilíneo, ou simplemente segmento.
               Así, na figura adxunta, para a recta  r ,  AB  é un segmento cuxos extremos
               son  A  e  B .

               •    A lonxitude do segmento represéntase por  AB .
   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12