Page 10 - Matemáticas para bacharelato de adultos

10
4. Operacións con vectores
Prácticas

4.2.1. Propiedades do produto dun vector por un escalar
 Se m e n , e a e b son dous vectores do conxunto V dos vectores libres do plano (ou V dos vectores libres
3
2
do espazo), entón verifícase:
• (m n a ) = m (n a ) .


+
• m a n a = (m n a+ ) .
+


• m a m b = m ( a b+ ) .

• 0 a =  = .
a
0
0

 O conxunto V dos vectores libres do plano (respectivamente V dos vectores libres do espazo), coas operacións de
2 3
adición e de produto por números reais ten estrutura de espazo vectorial.
4.3. Combinación lineal de vectores
 Chámase combinación lineal dos vectores a , b , …, d cos coeficientes  ,  , ...,  (escalares) ao vector:

=
w   a   ++ 
+
b
d
4.4. Compoñentes dun vector libre
 Debuxemos no plano uns eixes cartesianos rectangulares (ou oblicuos).
• A recta XX chámase eixo de abscisas.
'
'
• A recta YY chámase eixo de ordenadas.
• O punto O de corte das dúas rectas chámase orixe do sistema.
Dado un vector libre a do plano, facemos coincidir a súa orixe co punto O,
obtendo o vector OA .
Trazando por A rectas paralelas ós eixes cartesianos, obtemos os puntos M e N.
Sexan x e y as medidas dos segmentos OM e ON , respectivamente.
)
• Chámanse compoñentes do vector OA ao par de números reais ( ,x y .
)
• Tamén se chaman compoñentes do punto A asociado, e expresase ( ,A x y .
• Chámanse compoñentes do vector libre a ás compoñentes dun calquera dos seus representantes, por exemplo
)
OA , e escribimos a = ( ,x y .
)
)
• O vector nulo 0 ten por compoñentes (0,0 : 0 = (0,0 .
• O vector a tamén se chama vector de posición do punto A.

)
Reciprocamente, dado un par de números reais ( ,x y existe un único vector libre que ten esas compoñentes.
• Así, pode facerse unha identificación entre vectores libres do plano e pares ordenados de números reais.
0,1
0,1
1,
1,0
• Ao par ( ) 0 asóciaselle o vector i : i = ( ) , e ao par ( ) asóciaselle o vector j : j = ( ) .


 Un sistema de referencia do plano é un conxunto R =  , ,O i j , formado pola orixe de coordenadas O e os vectores i
e j . Os vectores i e j son vectores unitarios (versores).
1. As coordenadas de u , v e w respecto dunha determinada base son u = (0, 1− ) , v = ( 1,0− ) e w = (2, 3− ). Calcula  e
 para que se verifique que w  = u  + v .

Solución:
Expresamos a igualdade w  = u  + v substituíndo os vectores pola súas coordenadas:
2 =  0 −     = 3
(2, 3− )  = (0, 1− + ( 1,0− ) = (0, − ) ( + − ,0 ) (  = − ,− )   →  → w = 3u − 2v .
) 

 − 3 = − + 2    = − 2