Page 15 - Matemáticas para bacharelato de adultos

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Vectores no plano. Repaso
Prácticas

B
11. Obtén as coordenadas do punto medio do segmento que une os puntos (5,3A ) e ( ) .
1,7
Solución:
5 1 3 7  +  +
)
M  ,  = (3,5 → (3,5M ) é o punto medio do segmento determinado polos puntos (5,3A ) e ( ) .
B
1,7
 2 2 
12. Calcula as coordenadas dos puntos P e Q que dividen en tres partes iguais o segmento de extremos ( 1,3A − ) e (7,2B ) .
Solución:
1
AB = (7 1,2 3+ − ) (8, 1= − ) . Sexan (x y ) e ( Q , y Q ) os puntos buscados: AP = AB e AQ = 2AP .
,
Q x
P
P
P
3
 x + 1 =  8
1

1  p 3  5 8 
AP = (x + 1, y − ) 3 = (8, 1− ) →  → P  ,  .
P
P
1
3  y − 3 =   3 3 
  p 3 ( ) 1−
 x + 1 2 8
=

 8 1   Q 3  13 7 
AQ = x + 1, y − ) 3 = 2AP = 2  ,−  →  → Q  ,  .
Q

( Q
 3 3   y − 3 2 − 1   3 3 
=
 Q   3  

5.5. División dun segmento en k partes iguais
 A , x y B x , y ) dous puntos do plano. Supoñamos que que-
1 ) e ( 2 2
Sexan ( 1
remos dividir o segmento que delimitan en k partes iguais. Sexa o punto
)
P ( ,x y o primeiro dos puntos da división, segundo se ve na imaxe adxun-
1
ta. Tense que:
AB (x − 2 1 , x y − 2 y 1 ) ; AP x x y− 1 ( 0 , − y 0 )
)
Por ser ( ,P x y o extremo dunha das k partes iguais debe verificarse que
1
AB = k AP → ( 2 1 , x y − y 1 ) k x x y y=  ( − 0 , − 0 ) →

x −
2
1
 kx = x − x + kx  kx = x + (k − ) 1 x 0

1
→  1 0 0 →  .
 ky = y − y + ky 0   ky = y + (k − ) 1 y 0
1
0
1
x + (k − ) 1 x y + (k − ) 1 y
• As coordenadas de P son: x = 1 0 , y = 1 0 .
1
k k

• Evidentemente, para k = 2 as coordenadas de P coinciden coas coordenadas do punto medio de dous puntos.
1
• As coordenadas dos demais puntos obtéñense así:


p = + 2 AP , p = + 3 AP , …, p = a + (k − ) 1 AP .
a
a
2 1 3 1 k− 1 1
13. Dados os puntos ( ) e (5,2B ) , obtén as coordenadas dos catro puntos que dividen o segmento AB en 5 partes
A
1,3
iguais.
Solución:
+
+


 5 4 1 2 4 3   9 14   4 1   4 1   13 13  13 13 
=
P 1  ,  → P 1  ,  ; AP 1  ,−  ;( ) 2+   ,−   ,  → P 2  ,  ;
1,3
 5 5   5 5   5 5   5 5   5 5   5 5 
 4 1   17 12   17 12 
( ) 3+   ,−   ,  → P 3  ,  ;
=
1,3
 5 5   5 5   5 5 
 4 1   21 11  21 11
( ) 4+   ,−   ,  → P =  ,  .
=
1,3
4
 5 5   5 5   5 5 