Page 9 - Matemáticas para bacharelato de adultos

9
Vectores no plano. Repaso
Prácticas

 Dous vectores son opostos cando teñen o mesmo módulo, dirección pero sentidos opostos. É dicir, se AB = , entón
a
BA = − a .

 Un vector é unitario cando ten módulo 1.
• O vector unitario que ten unha dirección que coincide coa do vector a chámase versor desta dirección, e repre-
0
séntase por a .
O vector a pode representarse por a = a a , onde a é o módulo do vector a .
0

• Os versores que levan a dirección dos eixes de coordenadas rectangulares Ox , Oy e Oz cara o lado de crece-
mento da coordenada, denótanse por i , j e k .

4. OPERACIÓNS CON VECTORES

4.1. Suma ou adición de vectores libres
 Dados dous vectores libres a e b do plano, chámase suma de a e b ao vector libre que se obtén do seguinte xeito:
• Tómase un punto arbitrario O do plano, e trázase OA como represen-
tante de a e, a continuación, AB como representante de b , o vector
suma a b+ é o que ten por representante OB .

• Analogamente se fai para b a+ .
• Esta forma da suma coñécese como regra do triángulo.

• Para efectuar a suma tamén se emprega a chamada regra do paralelo-
gramo.
• Consiste en tomar un punto arbitrario do plano O, e trazar OA como re-
presentante de a e OB como representante de b . Polos extremos de-
ses representantes (puntos A e B, respectivamente), trázanse rectas para-
lelas aos vectores OA e OB , que se cortarán nun punto C. Entón OC
é un representante de a b+ .

4.1.1. Propiedades da suma de vectores
 Se a e b son dous vectores do conxunto V dos vectores libres do plano (ou de V dos vectores libres do espazo),
2 3
entón verifícase:
• É unha operación interna: a suma de dous vectores é outro vector.
• Asociativa: ( a b+ ) c+ = + ( b c+ ) .
a
+
• Conmutativa: a b+ = b a .
+
• Existe elemento neutro: o vector nulo 0 tal que a + = 0 a = a .
0
+
• Todo vector ten un oposto: dado a existe a− tal que a + ( ) a− = − a a = 0 .
4.2. Multiplicación dun vector por un escalar
 Chámase produto dun número real non nulo k por un vector non nulo a a un vector que ten:

• Módulo: k a .
• Dirección: a dirección de a .
 k  0, o mesmo de .
a
• Sentido: 
a
 k  0, o contrario de .
0
• Se a = ou k = o produto de k por a é o vector 0 .
0