Page 20 - Matemáticas para bacharelato de adultos
P. 20
20
7. Produto escalar de dous vectores libres
Prácticas
(
2
19.3. v = − 3,− ) 1 . Módulo = ( − 3 ) ( ) 1+ − 2 = 2 ;
3
− 1
III cadrante → arctan = 30º ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ = = 210º .
Interpretando os resultados
− 3 obtidos coa calculadora
−
v = ( − 3, 1 ) (2,210º= ) .
3
2
19.4. v = ( 3, 1− ) . Módulo: = ( ) ( ) 1+ − 2 = 2 ;
3
4
− 1
IV cadrante → arctan = − 30º ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ = = 330º . v = ( 3, 1− ) (2,330º= ) .
Interpretando os resultados
4
3 obtidos coa calculadora
)
20. Obtén as coordenadas cartesianas do vector v = (12,30º .
Solución:
)
=
x = 12 cos (30º = 6 3 10.3923048454
( ) =
y = 12 sen 30 6 → v = (12,30º ) ( 6 3,6 ) .
7. PRODUTO ESCALAR DE DOUS VECTORES LIBRES
Dados dous vectores u e v , chámase produto escalar de dous vectores libres u e v ao número real que é igual ao
produto dos módulos destes dous vectores polo coseno do ángulo que forman:
)
u v = u v cos ( ,u v
Sexan a = OA e b = OB dous vectores non nulos que forman o ángulo . Se trazamos por B unha perpendicular á
recta OA, cortará a esta recta no punto B'.
'
• O segmento OB chámase proxección do vector b sobre o vector a .
( ) .
• Tense que OB = ' b cos
Multiplicando os dous membros da igualdade por a , tense
( ) =
a OB ' = a b cos a b
é dicir:
• O produto escalar de dous vectores é igual ao módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.
7.1. Propiedades do produto escalar
(a u v ) = (u v ) u= (a v ) — propiedade asociativa.
a
u v = v u — propiedade conmutativa.
u (v w+ ) u v u w= + — propiedade distributiva.
u v = 0 u ⊥ v ou u = 0 ou v = .
0
2
2
u u = u = u .
7.2. Expresión analítica do produto escalar
Se ( ) j é unha base do plano vectorial e u = x i + 1 y j e v = x i + 2 y j , entón a forma analítica do produto escalar é:
, i
2
1
+
x y +
u v = x x (i i ) ( 1 2 x y 1 ) (i j ) y y+ 1 2 ( j j )
2
2
1
Caso particular: sexan u = ( 1 , x y 1 ) e v = ( 2 , y 2 ) dous vectores.
x
, i
• No caso particular de que os vectores i e j sexan perpendiculares entre si e que i = j = 1, a base( ) j chá-
mase ortonormal ou métrica, verificándose que i i = 1, j j = 1 , i j = 0 , dado que cos (90º ) 0= .
• Neste caso que a forma analítica do produto escalar é:
u v = x x + y y
1
2
2
1
