Page 20 - Matemáticas para bacharelato de adultos
P. 20
20
6. Razóns trigonométricas
Prácticas
6.9. Expresión dunha función mediante outra do mesmo ángulo
Moitas veces é necesario expresar unha función trigonométrica dun ángulo mediante outra función trigonométrica co-
ñecida dese ángulo. As fórmulas máis coñecidas son:
( )
( )
• sen = 1 cos tan = 1 = sec − 2 ( ) 1 = 1 .
2
( ) =
−
( )
( )
( )
( )
1 tan 1 cot sec csc
+
2
+
2
( )
2
( ) 1
( )
2
−
( ) =
• cos = 1 sen 1 = cot = 1 = csc − .
( )
( )
( )
( )
1 tan 1 cot sec csc
+
2
+
2
( )
( )
−
2
( )
• tan = sen = 1 cos = 1 = sec − 2 ( ) 1 = 1 .
( )
( )
( )
2
−
1 sen cos cot csc − 2 ( ) 1
( )
( )
−
2
( )
• cot = 1 sen = cos = 1 = 1 = csc − 2 ( ) 1 .
( )
( )
( )
sen 1 cos tan sec − 2 ( ) 1
2
−
)
37. Calcula sen (75º .
Solución:
1
)
)
)
+
) cos
) sen
) sen
sen (75º = (45º 30º = (30º cos (45º + (30º sen (45º = 2 + 3 2 = = ( 1+ ) 3 2 .
2 2 2 2 4
2
Solución: sen (75º = ) ( 1+ ) 3 .
4
Fai anos, cando non existían as calculadoras, as fórmulas de razóns trigonométricas da suma de ángulos, do ángulo
dobre, do ángulo metade, … eran importantísimas, xa que permitían obter as razóns trigonométricas de determinados
ángulos a partir das razóns trigonométricas de ángulos coñecidos, como se ve no exemplo 37.
)
Na actualidade non se lle ocorre a ninguén calcular sen (75º desa maneira, pero as fórmulas son imprescindibles pa-
ra simplificar e desarrollar determinadas expresións trigonométricas, nas diversas ramas das matemáticas e doutras
ciencias.
Con razoamentos similares aos anteriores obtemos as seguintes propiedades:
• sen ( ) sen= ( )cos ( ) cos ( )sen ( ) .
• cos ( ) cos= ( )cos ( ) sen ( )sen ( ) (obsérvese que de se pasa a ).
tan ( ) tan ( )
• tan ( ) = .
1 tan ( ) tan ( )
cot ( )cot ( ) 1
• cot ( ) = .
cot ( ) cot ( )
)
+
+
• sen ( = sen ( )cos ( )cos ( ) + cos ( )sen ( )cos ( ) +
+ cos ( )cos ( )sen ( ) sen − ( )sen ( )sen ( )
( )
)
( )
+
( )cos
+
( )sen
• cos ( = cos ( )cos – sen ( )cos –
− sen ( )cos ( )sen ( ) cos − ( )sen ( )sen ( ) .
