Page 24 - Matemáticas para bacharelato de adultos

24
7. Ecuacións trigonométricas
Prácticas

2
( ) csc  =
52. Demostra que para calquera ángulo  , se verifica a relación: sec  + 2 ( ) sec   2 ( )
2
( ) csc  .
Solución:
1 1 sen  2 ( ) cos  + 2 ( ) 1
Tense: sec  2 ( ) csc  + 2 ( ) = + = = =
cos  2 ( ) sen  2 ( ) cos  2 ( ) sen   2 ( ) cos  2 ( ) sen   2 ( )
1 1
=  = sec  2 ( ) csc   2 ( ) → certa.
cos  2 ( ) sen  2 ( )
( )
53. Simplifica a expresión sen   1 .
( )
tan 
Solución:
( )
1 1 cos 
( )
( )
( )
( )
sen  = sen   = sen   = cos  .
( )
( )
( )
tan  sen  sen 
( )
cos 
1 sen  − ( ) cos  ( )
54. Demostra se é verdadeira ou falsa a igualdade = .
cos  ( ) 1 sen  + ( )
Solución:
1 sen  − ( ) = cos  ( )  (1 sen  + ( )) = cos  − ( ))(1 sen  = − 2 ( ) 2 ( )
+
( ) , e (1 sen 
( ))(1 sen 
−
2
( )) 1 sen  = cos  →
cos  ( ) 1 sen  + ( )
→ verdadeira.
 1 
( )
55. Simplifica a expresión sen   ( ) tan  +   .
( ) cos   

( )
 tan  
Solución:
 1  sen   ( ) cos  ( ) 
( )
=
sen   ( ) tan  +   = sen ( ) cos ( )     +   = sen  2 ( ) cos  + 2 ( ) 1.
( ) cos   

( )
 tan    cos  ( ) sen  ( ) 
7. ECUACIÓNS TRIGONOMÉTRICAS
 Reciben o nome de ecuacións trigonométricas as ecuacións nas que aparecen unha ou varias razóns trigonométricas.
• Para resolver ecuacións trigonométricas é conveniente expresalas en función dun mesmo ángulo e dunha única
razón trigonométrica ou factorizalas.
Para iso empréganse as fórmulas adecuadas que relacionan as razóns trigonométricas.
• Se  é unha solución dunha ecuación trigonométrica (ou dun sistema) tamén serán solución  + 360º 1  ,
 + 360º 2  ,  + 360º 3  . …, e, en xeral, as solucións da ecuación ou sistema expresaranse así:  + 360º k  , onde
k é un número enteiro.
56. Resolve a ecuación cos x  ( ) tan x = ( ) 1 .
2
Solución:

+
1 sen ( ) x 1 1  x = 30º 360º k
( )
cos ( ) tanx  ( ) x = → cos x  ( ) = → sen x = → 
+

2 cos ( ) x 2 2  x = 150º 360º k
Solucións: x = 30º 360º k  e x = 150º 360º k  .
+
+
57. Resolve a ecuación 3sen− ( ) cosx + 2 ( ) 3x = .
Solución:
Como cos 2 ( ) 1 senx = − 2 ( ) x entón:
− 3sen ( ) cosx + 2 ( ) 3x = → 3sen− ( ) 1 senx + − 2 ( ) 3x =  sen 2 ( ) 3senx + ( ) 2 0x + = →

−
 
( )
( )
→ sen x = − 3 9 8 = − 3 1 =  − 1 → sen x = − 1 → x = 270º 360º k .
+

2 2   − 2

+
Solución: x = 270º 360º k .