Page 7 - Matemáticas para bacharelato de adultos

7
Ecuacións, inecuacións, e sistemas
Prácticas

• Se unha ecuación se substitúe polo seu corolario, o conxunto de solucións da segunda ecuación terá tódalas raíces
da ecuación inicial e ademais pode conter algúns valores máis chamados raíces estrañas ou ficticias da ecuación
de partida.
2
11. Por exemplo, de x − = x − 1 → x − = 4 1, ao resolver a segunda ecuación atopamos as solucións
4
1 x −
2
1
x = 1 − 1, x = e x = 1; sen embargo o cero non é solución da primeira ecuación.
0
3
2
0
A raíz estraña x = apareceu como consecuencia de que o CVT da segunda ecuación é máis grande có da primeira.
2

 Se ao resolver unha ecuación pasamos ao seu corolario, ao remate do proceso teremos que facer unha análise das raíces
(verificalas) e elixir aquelas que son solucións da ecuación inicial.
• Durante o paso dunha ecuación ao corolario non sempre se estende o CVT.
12. Por exemplo, o paso da ecuación ( x x− ) 1 = 0 a ( x x − 1 )(x − ) 2 = non produce unha extensión do CVT, e a se-
0
gunda ecuación é un corolario da primeira.
1.5. Resolución dunha ecuación
 Polo xeral, a resolución dunha ecuación consiste en substituír sucesivamente unha ecuación por outra máis simple ou
cambiala por unha colección de ecuacións (ou tamén por desigualdades, sistemas, …).
• Despois de facer unhas certas transformacións nun ou nos dous membros da ecuación, obtemos outra ecuación,
pola que substituímos a ecuación inicial.

 As mesmas transformacións habituais nunha ecuación poden dar lugar a unha ecuación tanto equivalente, como non
equivalente á dada.

13. Pon un exemplo de que as mesmas transformacións feitas en varias ecuacións pode conducir nuns casos a ecuacións equi-
valentes e noutras a non equivalentes.
Solución:
5 5
−
−
 A ecuación 7 2x + − = 11 4x , despois de reducir os termos semellantes do seu primeiro membro, queda
x − 2 x − 2
substituída pola ecuación 7 2x− = 11 4x , que non é equivalente á dada.
−
−
En efecto, o número x = é a única raíz da ecuación 7 2x = 11 4x e non é solución da ecuación de partida: anularían-
−
2

se dous denominadores e, polo tanto, 2 CVT .
5 5
+
 A ecuación 5 2x + − = 26 x , despois de reducir os termos semellantes do primeiro membro, queda substitu-
−
x − 2 x − 2
−
ída pola ecuación 5 2x+ = 26 x , que é equivalente á de partida.
−
Na realidade, x = é a única raíz tanto da ecuación 5 2x+ = 26 x , como da ecuación inicial.
7
x − 1
2
 A ecuación = 5 , despois de simplificar o primeiro membro da ecuación eliminando o factor común x − , que da
1
x − 1
substituída por x + 1 5, que é equivalente á inicial.
=
=
4
En efecto, a raíz x = é a única raíz tanto da ecuación inicial como da x + 1 5 .
14. Pon un exemplo de que as mesmas transformacións feitas en varias ecuacións pode conducir nuns casos a ecuacións equi-
valentes e noutras a non equivalentes.
Solución:
 A ecuación x − 1 6 2x , despois de elevar ao cadrado os dous membros da igualdade, substitúese pola ecuación
=
−
)
2
2
(x − ) 1 = (6 2x , que non é equivalente á primeira.
−
)
2
2
−
En efecto, o número 7 é a única raíz da ecuación inicial, e ademais é solución da ecuación (x − ) 1 = (6 2x , pero a
3
raíz x = desta segunda ecuación non é solución da ecuación inicial.
5
 A ecuación x + = 2 x despois de elevar ao cadrado os dous membros da igualdade, substitúese pola ecuación
−
1
−
=
=
x + 1 2 x , que é equivalente á de partida. En efecto, x = 1 é a única raíz, tanto da ecuación x + 1 2 x , como da
−
2
inicial.