Page 8 - Matemáticas para bacharelato de adultos

8
1. Ecuacións
Prácticas

1.6. Afirmacións acerca da equivalencia de ecuacións
 Teorema 1. As ecuacións ( ) x = g ( ) x e ( ) x − f g x = ( ) 0 son equivalentes.
f
=
15. Por exemplo, x = 2 x+ 6 é equivalente a x − − 6 0 .
2
x

Teorema 2. As ecuacións ( ) x = g ( ) x e ( ) x +  g ( ) x +  = son equivalentes para todo número  .
f
f
2
2
16. Por exemplo, x = 2 x+ 6 é equivalente a x − = + −  x − =
6 0 .
6 6
6
x

Teorema 3. As ecuacións ( ) x = g ( ) x e  f  ( ) x =  g ( ) x son equivalentes, para todo   .

f
0
17. Por exemplo, x = 2 x+ 6 e 5x = ( 5 x+ ) 6  5x = 5x+ 30 son equivalentes.
2
2

Teorema 4. As ecuacións ( ) x = g ( ) x e a f ( ) x = a g ( ) x , con a  0, a  1, son equivalentes.
f
2
x
18. Por exemplo, x = 2 x+ 6 e 2 = 2 x− 6 son equivalentes.

Teorema 5. Se as funcións ( ) x e ( ) x son non negativas nun certo conxunto A, entón, sobre ese conxunto A as
f
g
ecuacións ( ) x = g ( ) x e f n ( ) x = g n ( ) x , n , son equivalentes.
f
3
3
19. Por exemplo, x = 2 x+ 6 e ( ) = (x + ) 6 ,   − .
x
2
6
x

Teorema 6. Se as funcións ( ) x e ( ) x son positivas nun certo conxunto A, entón, sobre ese conxunto A as ecua-
f
g
cións ( ) x = g ( ) x e log a ( f x log a ( g x 0 1
( )) =
( )) , con a  e a  , son equivalentes.
f
( )
h x =
En particular, se b  , as ecuacións a h ( ) x = b e ( ) log b son equivalentes.
0
a
( ) =
20. Por exemplo, x = 2 x+ 6 e log x 2 log (x + ) 6 , x  − son equivalentes.

6

Teorema 7. Supoñamos que a función ( ) x está definida e non se anula en ningún dos puntos do conxunto A, perten-

cente ao CVT da ecuación ( ) x = g ( ) x . Entón, sobre o conxunto A as seguintes ecuacións ( ) x = g ( ) x e
f
f
f x  ( ) ( ) x = g x   ( ) ( ) x son equivalentes.

O conxunto A pode coincidir co CVT da ecuación ( ) x = g ( ) x .
f
Deste afirmación sácanse as regras habituais empregadas na resolución de ecuacións:
 Se nunha ecuación se pasa un termo dun membro da igualdade ao outro cambiándolle de signo, a ecuación resultante é
equivalente á dada. Esta regra coñécese como transposición de termos.
 Se os dous membros dunha ecuación teñen dous termos iguais, e co mesmo signo, poden suprimirse sen que varíen as
solucións. Esta regra coñécese como simplificación de termos iguais.
 Hai que ter especial coidado ao multiplicar os dous membros dunha ecuación por unha expresión alxébrica, xa que con
facilidade pasamos a outra ecuación que ademais de ter as solucións da primeira, tamén ten por solucións as raíces da
expresión pola que multiplicamos.
 Hai que ter especial coidado ao dividir os dous membros dunha ecuación por unha expresión alxébrica, xa que con facili-
dade pasamos a outra ecuación que pode non ser equivalente á dada.