Page 6 - Matemáticas para bacharelato de adultos
P. 6
6
1. Ecuacións
Prácticas
Nota. Cando falemos en xeral dunha ecuación usaremos a expresión ( ) x = g ( ) x , onde ( ) x e ( ) x poden representar
f
f
g
( ) 0.5 =
constantes, expresións polinómicas (5x + 3x = 6x + 3x − ) 2 , trigonométricas (2 cos x − sen x
2
2
( )) , radicais
)
( 3x + 2 9 = 6 , logarítmicas (log 3 ( ) x = ) 2 , etcétera.
2
2
+
+
7. Considera estas igualdades: 3x − = + ; (3 x+ ) = 9 6x x . Razoa cal das dúas é unha identidade.
4
x
5
Solución:
2
+
+
A segunda: (3 x+ ) = 9 6x x , xa que o segundo membro da igualdade é o desenrolo do primeiro membro.
2
A primeira: 3x − = + é unha ecuación, xa que se verifica só para determinados valores de x .
5
x
4
1.3. Sistemas de ecuacións
Un conxunto de ecuacións para as que hai que obter os valores das incógnitas que satisfagan simultaneamente tódalas
mencionadas ecuacións, chámase sistema de ecuacións.
• O conxunto dos valores das incógnitas que satisface simultaneamente tódalas ecuacións do sistema, recibe o nome
de solución do sistema.
1.4. Equivalencia de ecuacións e sistemas
Dúas ecuacións (ou dous sistemas de ecuacións) chámanse equivalentes se teñen as mesmas solucións, ou ámbalas
dúas carecen de solucións, consideradas as dúas no mesmo dominio.
• Da definición de equivalencia de ecuacións dedúcese que en vez de resolver a ecuación dada pode resolverse unha
ecuación equivalente a ela.
• A relación de equivalencia cumpre a propiedade transitiva, é dicir, se a ecuación ( ) x = g ( ) x é equivalente á
f
expresión ( ) x = ( ) x , e a ecuación ( ) x = ( ) x o é respecto a ( ) x = n ( ) x , entón a ecuación ( ) x = g ( ) x
m
f
tamén é equivalente á ecuación ( ) x = n ( ) x .
m
Usualmente, a noción de equivalencia de ecuacións non se emprega dun xeito global, e restrínxese a equivalencia a un
conxunto.
8. Estuda a equivalencia das ecuacións ( x x− ) 1 = 0 e ( x x − 1 )(x − ) 2 = .
0
Solución:
As ecuacións ( x x− ) 1 = 0 e ( x x − 1 )(x − ) 2 = non son equivalentes, dado que o número 2 é raíz da segunda ecuación pero
0
non é raíz da primeira.
9. Estuda a equivalencia das ecuacións x = e x = 1.
1
Solución:
A ecuación x = é equivalente a x = 1, posto que o número 1 é a raíz das dúas ecuacións. Como teñen distintos CVT, dire-
1
mos que estas dúas ecuacións son equivalentes no conxunto dos números reais non negativos.
A substitución dunha ecuación por outra equivalente á primeira, ou a substitución por un conxunto de ecuacións (desi-
gualdades, sistemas) equivalentes á mesma chámase paso equivalente.
Dadas dúas ecuacións ( ) x = g 1 ( ) x e ( ) x = g 2 ( ) x , se toda raíz da primeira ecuación é tamén raíz da segunda
f
f
2
1
ecuación, a segunda ecuación chámase corolario da primeira ecuación, e escríbese así:
f ( ) x = g ( ) x → f ( ) x = g ( ) x
1 1 2 2
10. Por exemplo, a ecuación x − 1 x − 1 é un corolario de x − = x − 1 ; en efecto:
2
4
=
1
4
2
=
2
elevando ao cadrado
x − 1 = x − 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x − 1 x − 1.
4
4
2