Page 5 - Matemáticas para bacharelato de adultos

5
Ecuacións, inecuacións, e sistemas
Prácticas

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS, E SISTEMAS

1. ECUACIÓNS
1.1. Conceptos básicos
 Ecuación. Este termo empregado só está matematicamente pouco definido. O sentido depende esencialmente do con-
texto ou do cualificativo que a acompaña (ecuación diferencial, ecuación dunha recta, etc.).
2
2
• Cando a ecuación é unha igualdade ( = ) da forma ( ) x = g ( ) x , —por exemplo 5x + 3x = 6x + 3x− ;
f
2
3x + 7 = 4x , …— trátase de determinar os argumentos (valores de x ) que fan que as dúas expresións dadas,
g
f ( ) x e ( ) x , tomen os mesmos valores.
• Os argumentos que determinan estas funcións chámanse incógnitas, e os valores das incógnitas que fan que esas
dúas funcións tomen os mesmos valores, chámanse solucións ou raíces da ecuación.
1. Para a ecuación 5x + 3x = 6x + 3x− a incógnita é x e as solucións son os valores − 2 e 2 .
2
2
2

• As ecuacións da forma ( ) 0 chámanse homoxéneas.
f x =
=
2. Un exemplo de ecuación homoxénea é x + 4x− 3 0.
2
3. Di cales son as solucións da seguinte ecuación, sen realizar as operacións indicadas: (x − 2 )(x + 1 )(2x + ) 3 = .
0
Solución:
Para que o produto de tres factores sexa 0, teñen que selo ou o primeiro ou o segundo ou o terceiro, e polo tanto, as raíces desta
3
ecuación son: x = , x = − 1 e x = − .
2
2
1.2. Solucións. Campo de valores tolerables: CVT
 O conxunto de solucións dunha ecuación depende do dominio M chamado campo de valores tolerables (CVT) ou
admisibles para as incógnitas.
1
4. Por exemplo a ecuación x = ten como campo de valores tolerables (CVT) o conxunto de tódolos números reais,
pero a ecuación x = 1 ten como CVT o conxunto dos números reais non negativos.

• Unha ecuación pode non ter solucións en M e, nese caso, dise que é irresoluble no dominio M . Se unha ecua-
ción é resoluble pode ter unha solución ou varias, e incluso un número infinito delas.
— As ecuacións irresolubles chámanse incompatibles.
— As ecuacións resolubles chámanse compatibles, e poden ser compatibles determinadas, cando teñen un núme-
ro finito de solucións ou compatibles indeterminadas, cando teñen infinitas solucións.
 Solución única →compatible determinada
Ecuacións  Con solución →Compatible  Infinitas solucións → compatible indeterminada



 Sen solución →Incompatible

• As solucións dunha ecuación dependen —ou poden depender— do dominio no que se traballa.
5. Por exemplo, a ecuación x − 4 4 0 é irresoluble no dominio dos números racionais , pero ten dúas solucións
=
no dominio dos números reais : x = 2 e x = − 2 ; ademais esta ecuación ten catro solucións: x = 2 ,
1 2 1
x = − 2 , x = i 2 e x = i − 2 no dominio dos números complexos .
2 3 4

• Se unha ecuación ten como solucións tódolos números do dominio M , entón recibe o nome de identidade nese
dominio.
2
6. Por exemplo a ecuación (x + ) 1 = x + 2x + é unha identidade en .
2
1