Page 7 - Matemáticas para bacharelato de adultos

7
Xeometría analítica
Prácticas

XEOMETRÍA ANALÍTICA
1. INTRODUCIÓN
A xeometría analítica é o emparellamento da álxebra e da xeometría. Os antigos matemáticos gregos, coas súas mentes marabi-
llosas, dedicáronse principalmente á xeometría e perfeccionárona ata un grao bastante elevado. Pero, desgraciadamente, igno-
raban máis ou menos a aritmética (e os principios da álxebra) dado que consideraban que iso era só para os negocios e o co-
mercio. Os negocios e as contas, e por conseguinte a aritmética, foron incumbencia dos supervisores das facendas, en tanto que
os matemáticos dedicaron as súas mentes a artes máis elevadas.
Pasaron uns 1500 anos ata que se estendeu a aritmética e a álxebra en Europa, e foi René Descartes quen admitiu o poderoso
que sería a ferramenta da álxebra para simplificar e ampliar a xeometría. Non foi senón ata despois de certo tempo dando Isaac
Newton madurou esta idea para crear unha nova ferramenta aínda máis potente, o cálculo.
A idea fundamental de Descartes, como a da maioría dos inventos, foi simple. Por que non formar dúas direccións básicas,
tales como a dirección «horizontal» e a dirección «vertical» (a partir dun punto de partida central, O , chamado orixe), que
servisen como alíneas de medición para situar nun plano calquera punto P desexado? A distancia sobre a dirección horizontal
podería designarse por un número negativo, positivo ou cero, segundo se tivese que ir cara a esquerda, a dereita ou a ningunha
das dúas para chegar a un punto dado. De maneira semellante, o número que indica a distancia vertical podería ser positivo,
negativo ou cero, segundo se tivese que ir cara arriba, cara abaixo o cara ningunha das dúas para chegar ao punto.
Seguindo a construción de Descartes vese que a cada punto do plano lle co-
rresponden un par de números reais, x e y ; e inversamente, a cada par de
puntos reais lle corresponde un punto e só un.
A recta horizontal chámase eixe X , sendo o seu sentido positivo cara a de-
reita; a vertical chámase eixe Y , e o seu sentido positivo é cara arriba. Os
)
dous números escritos ( ,x y dinse coordenadas do punto e chámanse abs-
)
cisa e ordenada. A orixe O ten por coordenadas (0,0 .
As coordenadas sobre un punto do eixe X son ( ,0a ) e as dun punto sobre
)
0
o eixe Y son (0,b . Así o eixe X defínese pola ecuación y = e o eixe
Y pola ecuación x = .
0

 Cando hai unha relación tal entre unha curva e unha ecuación, é dicir, que as coordenadas dun punto sobre a curva sa-
tisfacen a ecuación, e un punto cuxas coordenadas satisfacen a ecuación ten que estar na curva, dicimos que é a ecua-
ción da curva.
• y = 0 é a ecuación do eixe X e x = é a ecuación do eixe Y .
0

Seguindo coa idea de Descartes, vese que se pode chegar a calquera punto
do plano mediante dous segmentos rectilíneos dirixidos cara arriba, cara
abaixo, á dereita ou á esquerda.
Que pasa en 3D?
De xeito similar se pode chegar a calquera punto do espazo tridimensional
con tres segmentos rectilíneos dirixidos, proporcionando un terceiro eixe, Z,
perpendicular ao plano do eixe X e o do eixe Y e coa mesma orixe.
A idea básica dos segmentos dirixidos é moi importante, non só nas matemá-
ticas, senón tamén na física e na enxeñería.
• A eses segmentos orientados chámaselles «vectores».

LEMBRANDO: VECTORES NO PLANO
1. SEGMENTO RECTILÍNEO DIRIXIDO
En xeral, estase familiarizado co concepto xeométrico de segmento rectilíneo.