Page 19 - Matemáticas para bacharelato de adultos

19
Repaso dalgúns coñecementos previos necesarios
Prácticas

 Un polinomio ( ) x é divisible por outro polinomio ( ) x cando o cociente ( ) x  Q ( ) x é exacto (o resto é 0).
P
P
Q
• En tal caso, ( ) x  P Q ( ) x = C ( ) x e, polo tanto, ( ) x pódese descompoñer en produto de ( ) x por ( ) x . É
P
C
Q

dicir, ( ) x = P C x Q
( ) ( ) x .
P
C
Q
Os polinomios ( ) x e ( ) x chámanse divisores ou factores de ( ) x .
80. Por exemplo, (3x − 14x + 4x + 3 ) (3x + ) 1 = x − 5x + → 3x − 14x + 4x + = (3x + 1 )( x − 5x + ) 3 e así pode
3
2
3
2
2
2
3
3
dicirse que os polinomios (3x + ) 1 e ( x − 2 5x + ) 3 son divisores —ou factores— de 3x − 14x + 4x + .
2
3
3
5.2.1. Números primos e compostos
 Un número superior á unidade chámase primo se non ten outros divisores, con excepción da unidade e o propio núme-
ro.
81. Exemplos de números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Dous números chámanse primos entre si cando non teñen factores primos comúns (agás o 1, loxicamente)
82. Por exemplo, 14 2 7=  e 15 3 5=  non son primos, pero son primos entre si.

 Chámanse números primos xemelgos os pares de números primos que se diferenzan en 2.
)
)
83. Son pares de primos xemelgos: (5,7 , (17,19 , ...

 Un número natural chámase composto, se ten polo menos un divisor distinto da unidade e de si mesmo.
Por exemplo, os números 6, 10, 12, 15, 20 son números compostos.
• Un número natural chámase par se se divide (sen resto) polo número 2, e impar ou non, se non se divide entre 2.
84. Exemplos de números pares son: 6, 18, 30, 90.

Teorema 3. Todo número composto n pode descompoñerse en factores primos, é dicir, representarse na forma seguin-
te:
k n
1 n
n = p p 2 n p
1 2 k
onde p , p , …, p son k números primos e, n , n , …, n son números naturais.
1
1
2
k
k
2

2

3
=
4

85. Por exemplo: 543312 2 3 7 11.
• A representación indicada chámase tamén descomposición canónica ou descomposición factorial do número; esta
descomposición é única salvo a permutación dos factores do segundo membro da anterior igualdade.
86. Fai a descomposición factorial de 8 e de 180.
Solución:
2

86.1. 8 =   = 2 . 86.2. 180 = 2 3 5  .
2
3
2 2 2
 Na páxina 21 vese un procedemento elemental para averiguar se un número é primo.
 Teorema 4. Para calcular o número de divisores que ten un número, descomponse en factores primos, e tense que se
m , m a b=    l   , entón o número de divisores é
nº de divisores = ( + 1 )( + 1 ) ( + ) 1
87. Calcula, sen escribilos, cantos divisores ten o número 10800 .
Solución:

10800 2 3 5 → Número de divisores:(4 1+ ) (3 1 + ) (2 1 + ) 5 4 3 60=   = .
=

2
3
4
88. Calcula, sen escribilos, cantos divisores ten o número 888 .
Solución:
888 2 3 37 → Número de divisores:(3 1+ )(1 1+ )(1 1+ ) 16= .
=


3