Page 6 - Matemáticas para bacharelato de adultos
P. 6

6
                                                                                                     1. Ecuacións
                               Prácticas


          Nota. Cando falemos en xeral dunha ecuación usaremos a expresión  ( ) x =  g ( ) x , onde  ( ) x  e  ( ) x  poden representar
                                                                  f
                                                                                  f
                                                                                         g
                                                                               
                                                                                   ( ) 0.5 =
              constantes, expresións polinómicas (5x + 3x = 6x + 3x −  ) 2 , trigonométricas (2 cos x −  sen x
                                                      2
                                              2
                                                                                               ( )) , radicais
                         )
              (  3x +  2  9 =  6 , logarítmicas (log 3 ( ) x =  ) 2 , etcétera.
                                                      2
                                                                 2
                                                              +
                                                          +
          7.  Considera estas igualdades:  3x − = + ; (3 x+  ) =  9 6x x . Razoa cal das dúas é unha identidade.
                                              4
                                           x
                                        5
          Solución:
                         2
                                 +
                             +
          A segunda: (3 x+  ) =  9 6x x , xa que o segundo membro da igualdade é o desenrolo do primeiro membro.
                                   2
          A primeira:  3x − = +  é unha ecuación, xa que se verifica só para determinados valores de  x .
                       5
                          x
                             4
          1.3. Sistemas de ecuacións
             Un conxunto de ecuacións para as que hai que obter os valores das incógnitas que satisfagan simultaneamente tódalas
               mencionadas ecuacións, chámase sistema de ecuacións.
               •    O conxunto dos valores das incógnitas que satisface simultaneamente tódalas ecuacións do sistema, recibe o nome
                    de solución do sistema.
          1.4. Equivalencia de ecuacións e sistemas
             Dúas ecuacións (ou dous sistemas de ecuacións) chámanse equivalentes se teñen as mesmas solucións, ou ámbalas
               dúas carecen de solucións, consideradas as dúas no mesmo dominio.
               •    Da definición de equivalencia de ecuacións dedúcese que en vez de resolver a ecuación dada pode resolverse unha
                    ecuación equivalente a ela.
               •    A relación de equivalencia cumpre a propiedade transitiva, é dicir, se a ecuación  ( ) x =  g ( ) x  é equivalente á
                                                                                      f
                    expresión  ( ) x  =   ( ) x , e a ecuación  ( ) x  =    ( ) x  o é respecto a  ( ) x =  n ( ) x , entón a ecuación  ( ) x =  g ( ) x
                                                                          m
                                                                                                    f
                    tamén é equivalente á ecuación  ( ) x =  n ( ) x .
                                              m

              Usualmente, a noción de equivalencia de ecuacións non se emprega dun xeito global, e restrínxese a equivalencia a un
               conxunto.
          8.  Estuda a equivalencia das ecuacións  ( x x−  ) 1 =  0  e  ( x x − 1 )(x −  ) 2 = .
                                                                     0
          Solución:
          As ecuacións  ( x x−  ) 1 =  0  e  ( x x − 1 )(x −  ) 2 =  non son equivalentes, dado que o número 2 é raíz da segunda ecuación pero
                                               0
          non é raíz da primeira.
          9.  Estuda a equivalencia das ecuacións  x =  e  x = 1.
                                              1
          Solución:
          A ecuación  x =  é equivalente a  x = 1, posto que o número 1 é a raíz das dúas ecuacións. Como teñen distintos CVT, dire-
                      1
          mos que estas dúas ecuacións son equivalentes no conxunto dos números reais non negativos.
             A substitución dunha ecuación por outra equivalente á primeira, ou a substitución por un conxunto de ecuacións (desi-
               gualdades, sistemas) equivalentes á mesma chámase paso equivalente.

              Dadas dúas ecuacións  ( ) x =  g 1 ( ) x  e  ( ) x =  g 2 ( ) x , se toda raíz da primeira ecuación é tamén raíz da segunda
                                                f
                                  f
                                                 2
                                   1
               ecuación, a segunda ecuación chámase corolario da primeira ecuación, e escríbese así:
                                                   f  ( ) x =  g  ( ) x →  f  ( ) x =  g  ( ) x
                                                   1      1       2      2
               10. Por exemplo, a ecuación  x − 1 x − 1 é un corolario de  x − =  x − 1 ; en efecto:
                                         2
                                               4
                                             =
                                                                       1
                                                                            4
                                                                    2
                                                   =
                                               2
                                elevando ao cadrado
                 x − 1 =  x − 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x −      1 x − 1.
                                                      4
                          4
                  2
   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11